关于数学严格性的一些评注 by feynman

S_Lau:

    看到(箱归一化)计算的最后结果,体积V被抵销了,读者可能有一个或二个反应.一个可能反应是:怎么那么巧!它如应该那样地被抵消了,箱壁没有影响?另一个也许是:为什么要用这种复杂的“不干净"又不严格的方式来处理?加了箱壁,它又没有带来什么差别,等等; 所有这些本来可以做得远为细致一些; 严格的数学论证并不需要箱壁; 等等. 有什么反应取决于你是物理思维还是数学思维. 关于物理学中数学严格性的地位问题,数学家和物理学家之间有许多误解.因此,这里议论一下每种方法(箱归一化或数学严格方法)的价值或许是适宜的.

    当然,平凡的一点是 : 哪个方法最容易为人熟悉,也就是哪一个需要的新知识最少.以前,大多数物理学家已经了解过关于如何在箱子中计算状态的论述.

    另一个论点是,数学严格解在物理上可能并不是严格的.即箱子在事实上可能存在.它可能不是矩形箱子,但是试验经常不是在露天,而是在房间里进行的.尽管“箱壁没有影响"这点在物理上是有道理的,原来的问题也确实是理想化的体系.把箱壁移至无穷远与代之以远远相对的精致镜子相比,并不是更令人满意的理想化方案.在第一种理想化情况中,数学严格并没有价值,因为箱壁并不是在无穷远.

    箱壁方法是恰如其分地严格,或者说是恰如其分地不严格. 它有几个优点.例如,在发现体积抵销的过程中我们了解到,理想化箱壁至少有一个方面(即它们离多么远)是不重要的. 这个发现使我们具有更直接的信念; 环境的实际安排并不重要. 最后,实际上,当我们遇到有限样品时,已推出的公式非常有用. 例如在第八章,我们将用它去计算大方形的物质块中的声波模式.

    另一方面,数学清晰论述的优点在于,它避免了许多不必要的相互抵销的细节,尽管使用箱壁方法人们可以了解箱壁怎样不会产生影响的有关情况,人们还是可以确信,无论如何这个方法是正确的,并且不希望转向细节来重新研究它.

    归一化问题是一个特例,但是它说明了这一点. 物理学家不能理解的是,在处理理想化了的物理问题时,数学家表现的谨小慎微.  物理学家知道,实际问题远为复杂. 问题已经被直觉简化,直觉去掉了不重要的成份,而对剩下的部分还常常采用近似方法。



引用自《Quantum Mechanics and Path Integrals

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